Il teorema di Gauss
(Gauss's law)

Dimostrazione, simmetria, applicazioni

Fisica · 4A · mercoledì 30 settembre 2026
Punto di partenza

Che cosa vogliamo sapere

Finora abbiamo descritto il campo elettrico (electric field) di una carica puntiforme, le sue linee di forza (field lines) e il flusso (flux) di un campo attraverso una superficie.

Quanto vale il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa? E dipende dalla forma della superficie?

Come procediamo
  • Parte 1 · Dimostriamo. Dalla sfera con la carica al centro a una superficie qualunque, in tre mosse, prima con le linee di forza, poi con i conti.
  • Parte 2 · Usiamo. Con la simmetria calcoliamo il campo di filo, piano e sfera carica.
Strumento 1

Strumento 1 · Il campo di una carica puntiforme

Una carica puntiforme Q genera a distanza r un campo di modulo

E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}=k\,\frac{Q}{r^2}\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}

con ε0 = 8,85×10⁻¹² C²/(N·m²), la permittività elettrica del vuoto (vacuum permittivity).

  • Direzione: radiale. Verso: uscente se Q > 0, entrante se Q < 0.
  • Modulo: dipende solo da r: uguale su tutta una sfera centrata su Q.
Strumento 2

Strumento 2 · Il flusso di un pezzettino

Dividiamo la superficie in pezzettini così piccoli da essere piani, con E costante.

  • ΔS (vettore superficie): modulo = area, direzione ⟂ al pezzettino, verso uscente.
  • θ: angolo fra E e ΔS.
\Delta\Phi=\vec E\cdot\Delta\vec S=E\,\Delta S\cos\theta

Analogia: la pioggia su una finestra. Tanta se la finestra è di fronte alle gocce, nulla se è parallela.

Provalo

Il flusso di un pezzettino: θ e ΔS

Angolo θ0°
Area ΔS2,0 m²

Campo fisso: E = 5 N/C (freccia bordeaux). La normale uscente n è la freccia navy.

Strumento 3

Strumento 3 · Il flusso attraverso una superficie chiusa

Una superficie chiusa (closed surface) Ω divide lo spazio in un dentro e un fuori. La dividiamo in n pezzettini ΔSi; in ognuno il campo è Ei.

\Phi_\Omega(\vec E)=\sum_{i=1}^{n}\vec E_i\cdot\Delta\vec S_i

Il flusso vero è il limite per ΔSi → 0. Unità: N·m²/C.

Su una superficie qualunque il conto è difficile: E cambia in modulo e direzione.

1

Perché il flusso non dipende dalla forma

Dimostrazione in tre mosse

Il piano

L'idea in tre mosse

Su una patata non sappiamo calcolare il flusso. Su una sfera con la carica al centro sì: si parte da lì.

1
Sfera con la carica al centro
qui il conto si fa: Φ = Q/ε0
2
Una forma qualunque
le linee di forza sono le stesse: il flusso non cambia
3
Carica fuori, più cariche
ogni linea che entra poi esce; i flussi si sommano

Il flusso conta le linee di forza che escono, non l'intensità del campo.

Mossa 1 (1/4)

Mossa 1 · Sfera con la carica al centro: impostiamo

Sia Ω una sfera di raggio r con la carica Q al centro, divisa in n porzioni di aree ΔS1, …, ΔSn; su ciascuna il campo Ei è praticamente costante.

Osservazione 1. Tutti i punti di Ω hanno la stessa distanza r da Q, quindi tutti i vettori Ei hanno lo stesso modulo:

E_i=E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}
Mossa 1 (2/4)

Mossa 1 · Il prodotto scalare diventa un prodotto

Osservazione 2. Su una sfera il campo è radiale, cioè perpendicolare alla superficie, come il vettore ΔSi. I due vettori sono paralleli e concordi (per Q > 0): θi = 0 e cos θi = 1.

\vec E_i\cdot\Delta\vec S_i=E_i\,\Delta S_i\cos 0=E\,\Delta S_i

Ogni addendo della somma è dunque E ΔSi, con lo stesso E in tutti.

Prossima slide: la somma.

Mossa 1 (3/4)

Mossa 1 · Il flusso, uguaglianza per uguaglianza

Definizione di flusso e proprietà distributiva (raccoglimento a fattor comune):

\Phi_\Omega(\vec E)=\sum_{i=1}^{n}\vec E_i\cdot\Delta\vec S_i=\sum_{i=1}^{n}E\,\Delta S_i=E\sum_{i=1}^{n}\Delta S_i=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\sum_{i=1}^{n}\Delta S_i
  • 1ª definizione di flusso
  • 2ª paralleli: prodotto dei moduli
  • 3ª E uguale in ogni addendo: si raccoglie
  • 4ª sostituiamo il valore di Coulomb
Mossa 1 (4/4)

Mossa 1 · Il risultato: il raggio sparisce

La somma delle aree delle n porzioni è l'area totale della sfera:

\sum_{i=1}^{n}\Delta S_i=S_\Omega=4\pi r^2
\Phi_\Omega(\vec E)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,S_\Omega=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}

Il 4πr² del numeratore semplifica il 4πr² del denominatore: il raggio non compare più.

Mossa 2 · qualunque forma

Stesse linee, qualunque superficie

Da Q partono le linee di forza. Il flusso conta quante ne escono dalla superficie.

Sfera: escono 12 linee.

Patata: escono le stesse 12 linee.

Stesse linee, stesso flusso: Q/ε0.

Q
Mossa 2 · l'inclinazione sparisce

Una superficie a scalini

Ogni superficie si approssima a scalini: facce perpendicolari o parallele al campo.

Campo uniformescalini orizzontali e verticaliCampo radialescalini ad arco e a raggio

Facce parallele: flusso 0. Facce perpendicolari: E·ΔS. Nessun coseno.

Mossa 2 · superfici che rientrano

Se la superficie rientra

Una linea di forza può uscire, rientrare e uscire di nuovo.

+1\;-\;1\;+\;1\;=\;+1

Si contano uscite meno entrate: ogni linea vale 1.

Mossa 3 · carica fuori

Carica fuori dalla superficie

Ora Q sta fuori da Ω. Ogni linea che entra, prima o poi esce.

\text{carica esterna:}\quad \Phi=0

Tante linee entrano, tante escono: flusso zero.

Qentra: −1esce: +1nessuna caricadentro
Mossa 3 · più cariche

Più cariche: sovrapposizione

Il campo di più cariche è la somma vettoriale dei campi (principio di sovrapposizione, superposition principle). Il flusso è lineare in E: i flussi si sommano.

  • carica dentro Ω: contribuisce con Qj/ε0, ovunque sia
  • carica fuori: contribuisce con 0, anche se vicinissima
\Phi=\sum_j\frac{Q_j}{\varepsilon_0}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}

Il flusso dipende solo dalle cariche dentro, ma E è prodotto da tutte.

Enunciato

Il teorema di Gauss (Gauss's law)

Teorema
Il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa Ω (superficie gaussiana, Gaussian surface) è uguale alla carica racchiusa divisa per ε0.
\Phi_\Omega(\vec E)=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}
  • Qint: solo le cariche dentro Ω
  • E: il campo di tutte le cariche, dentro e fuori
  • la superficie gaussiana è immaginaria, scelta da noi
Gauss senza conoscere E

Verifica lampo · Il cubo

Una carica q = 1,0 nC è al centro di un cubo. Flusso attraverso una faccia?

1
\Phi_{\mathrm{tot}}=\frac{q}{\varepsilon_0}=\frac{1{,}0\times10^{-9}}{8{,}85\times10^{-12}}=113\ \mathrm{N\,m^2/C}
Gauss: non serve il campo
2
6\ \text{facce equivalenti}
una rotazione del cubo scambia due facce e lascia invariata la sorgente
3
\Phi_{\mathrm{faccia}}=\frac{q}{6\varepsilon_0}=18{,}8\ \mathrm{N\,m^2/C}
il campo non è uniforme sulla faccia, ma il flusso non ne risente
Estensione

E se la superficie non è chiusa?

Gauss parla di superfici chiuse. Ma serve anche per quelle aperte:

1
Chiudila
aggiungi una superficie inventata da te
2
Applica Gauss al totale
flusso totale = carica dentro / ε0
3
Togli la parte inventata
quello che resta è il flusso che cercavi

Scegli la chiusura in modo che la parte inventata sia facile da calcolare.

chiusura inventatasuperficie dataq
Parte 2 · il metodo

La gaussiana giusta

Gauss si usa bene quando la superficie è fatta di facce perpendicolari (⟂) (flusso E·A) o parallele (∥) (flusso 0) al campo.

Sferatutta ⟂ al campoCilindrolaterale ⟂ · basi ∥Scatolabasi ⟂ · laterale ∥

La simmetria dice com'è E; la gaussiana si sceglie di conseguenza.

Simmetria sferica

Sfera · La simmetria dà la forma di E

Sorgente a simmetria sferica: una rotazione attorno al centro la lascia identica.

  • E è radiale.
  • E ha lo stesso modulo a distanza r.
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\mathrm{int}}(r)}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E(r)=\frac{Q_{\mathrm{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}

La sfera concentrica di raggio r è la superficie gaussiana giusta.

Simmetria cilindrica (1/2)

Filo infinito · La simmetria

Filo infinito con densità lineare di carica λ (linear charge density, C/m).

  • Lungo il filo: nulla. Le cariche a +z e −z hanno componenti lungo il filo che si cancellano.
  • Attorno al filo: nulla. Lo specchio che contiene il filo e P non cambia nulla.
  • Il modulo dipende solo da d. Traslazioni e rotazioni attorno al filo lo lasciano identico.

E è radiale e vale E(d).

Simmetria cilindrica · il perché

Filo infinito · Perché proprio un cilindro?

Sappiamo com'è E: esce dal filo in orizzontale, uguale tutt'intorno a distanza d. Quale superficie lo segue?

stortoSfera ✗E la attraversa storto, e cambia.Cilindro ✓laterale: E dritto · basi: E sfiora

Il cilindro è la forma che il campo disegna da solo.

Simmetria cilindrica (2/2)

Filo infinito · Gauss con un cilindro

Gaussiana: cilindro coassiale, raggio d, lunghezza L.

  • Laterale: Φ = E·2πdL
  • Basi: Φ = 0 (E parallelo alle basi)
  • Carica: Qint = λL
E\cdot 2\pi d\,L=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E(d)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,d}=\frac{2k\lambda}{d}
Filo

Filo infinito · Come leggerlo

La lunghezza L si semplifica: il campo non dipende da quanto è lungo il cilindro.

E cala come 1/d: le linee di forza si aprono in un solo piano, sulla circonferenza 2πd, non su una sfera.

Più superficie su cui si aprono le linee, meno campo.

Simmetria piana (1/2)

Piano infinito · La simmetria

Piano infinito con densità superficiale σ (surface charge density, C/m²).

  • Perpendicolare al piano: le componenti parallele si annullano.
  • Solo da d: spostarsi lungo il piano non cambia nulla.
  • Lati opposti: stesso modulo, verso opposto (si allontana da entrambi se σ > 0).
Simmetria piana · il perché

Piano infinito · Perché una scatola?

Sappiamo com'è E: esce dal piano in verticale, da entrambe le parti, uguale a ogni quota. Quale superficie lo segue?

Sfera ✗E la attraversa storto, tranne ai poliScatola ✓basi: E dritto · lati: E sfiora

Una base per lato, parallele al piano: stesso E, flusso 2EA.

Simmetria piana (2/2)

Piano infinito · Gauss con una scatola

Gaussiana: scatola con due basi di area A, ai due lati del piano, a distanza d.

  • Basi: Φ = 2EA
  • Laterale: Φ = 0
  • Carica: Qint = σA
2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

A si semplifica: E non dipende da d.

Perché 1/d, costante, 1/r²

Tre geometrie, tre andamenti

  • Sfera: le linee si aprono su 4πr²: E ∝ 1/r²
  • Filo: si aprono sulla circonferenza 2πd: E ∝ 1/d
  • Piano: restano parallele: E costante

L'esponente conta le dimensioni su cui le linee di forza si aprono.

Tre geometrie, tre andamenti

E in funzione della distanza

Come leggerle

Sfera, 1/r²
le linee si aprono su una sfera: il campo cala in fretta

Filo, 1/d
si aprono su un cerchio: cala più piano

Piano, costante
restano parallele: non cala

Sfera uniforme · il perché

Sfera uniforme · Che carica racchiude la gaussiana?

La sfera è carica in tutto il volume. La gaussiana è sempre una sfera concentrica: cambia la carica che ha dentro.

Qr > RFuoriracchiude tutta la carica QRQ/8r = R/2Dentroracchiude solo la parte (r/R)³ di Q

Dentro racchiude solo la frazione (r/R)³ della carica.

Sfera (fuori)

Sfera uniforme · Fuori: r > R

Sfera isolante di raggio R, carica Q uniforme nel volume. Superficie gaussiana: sfera concentrica di raggio r > R: dentro c'è tutta la carica, Qint = Q.

E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}

Fuori, il campo è quello di una carica puntiforme Q nel centro.

Sfera (dentro)

Sfera uniforme · Dentro: r < R

Gaussiana: sfera concentrica di raggio r < R. Racchiude solo una parte della carica.

Q_{\mathrm{int}}=Q\,\frac{r^3}{R^3}
E\cdot4\pi r^2=\frac{Q\,r^3}{\varepsilon_0R^3}\ \Rightarrow\ E(r)=\frac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_0R^3}

Carica ∝ r³, area ∝ r²: dentro il campo cresce come r.

rRcaricaracchiusacarica uniformein tutto il volume
Il profilo di E(r)

Sfera uniforme: cambia il raggio R

Raccordo

Dentro (r < R)
E cresce con r

Fuori (r > R)
E cala come 1/r²

In r = R le due curve si incontrano: lì il campo è massimo

Esercizio svolto · impostazione

Esercizio 1 · Filo carico

Filo molto lungo con densità lineare di carica λ = 2,0 nC/m. Calcola il campo a d1 = 0,10 m e a d2 = 0,30 m, e la forza su un protone a d1.

  • Simmetria cilindrica: E radiale, modulo E(d).
  • Superficie gaussiana: cilindro coassiale.
  • Dalla slide del filo: E(d) = λ/(2πε0d) = 2kλ/d.
Esercizio svolto · calcolo

Esercizio 1 · Calcolo

1
E(d_1)=\frac{2\cdot8{,}99\times10^{9}\cdot2{,}0\times10^{-9}}{0{,}10}=3{,}60\times10^{2}\ \mathrm{N/C}
campo a 0,10 m
2
E(d_2)=\frac{2\cdot8{,}99\times10^{9}\cdot2{,}0\times10^{-9}}{0{,}30}=1{,}20\times10^{2}\ \mathrm{N/C}
distanza ×3 ⇒ campo ÷3, coerente con 1/d
3
F=eE=1{,}602\times10^{-19}\cdot3{,}60\times10^{2}=5{,}76\times10^{-17}\ \mathrm{N}
verso l'esterno (λ positivo)
Errori tipici e controlli
  • Dimenticare il 2: 180 N/C
  • Usare 1/d²: kλ/d² = 1,80×10³ N/C, oppure E(d2) = E(d1)/9 = 40,0 N/C
Esercizio svolto · impostazione

Esercizio 2 · Due piani paralleli

Due piani molto estesi con densità di carica +σ e −σ, con σ = 2,0 μC/m². Trova E fra i piani e fuori. Ripeti con due cariche dello stesso segno. Forza su un elettrone fra i piani.

  • Prima il campo di un piano (Gauss, scatola).
  • Poi la sovrapposizione: somma vettoriale dei due campi.
  • Fra i piani i campi hanno lo stesso verso, fuori verso opposto.
Esercizio svolto · calcolo

Esercizio 2 · Calcolo

1
E_1=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{2{,}0\times10^{-6}}{2\cdot8{,}85\times10^{-12}}=1{,}13\times10^{5}\ \mathrm{N/C}
campo di un piano solo
2
E_{\mathrm{fra}}=2E_1=2{,}26\times10^{5}\ \mathrm{N/C}\qquad E_{\mathrm{fuori}}=0
segni opposti: fra i piani si somma, fuori si sottrae. Forza su un elettrone fra i piani: F = eE = 3,62×10⁻¹⁴ N
3
\text{stesso segno:}\ E_{\mathrm{fuori}}=2E_1=2{,}26\times10^{5}\ \mathrm{N/C}\qquad E_{\mathrm{fra}}=0
cariche uguali: fuori i campi si sommano, in mezzo si annullano
Errori tipici e controlli
  • Usare σ/ε0 per ogni piano e sommare: 4,52×10⁵ N/C
  • Dimenticare che fuori si annulla, o sommare invece di sottrarre con segni uguali
Esercizio svolto · impostazione

Esercizio 3 · Sfera uniformemente carica

Sfera isolante con carica Q = 6,0 μC distribuita in modo uniforme, raggio R = 0,20 m. Calcola E a r = 0,10 m, r = 0,20 m, r = 0,40 m.

  • Simmetria sferica: gaussiana = sfera concentrica.
  • Dentro (r < R): E = kQr/R³. Fuori (r > R): E = kQ/r².
  • In r = R le due formule devono coincidere: controllo.
Esercizio svolto · calcolo

Esercizio 3 · Calcolo

1
r=0{,}10\ \mathrm{m}\lt R:\quad E=\frac{kQ\,r}{R^3}=\frac{8{,}99\times10^{9}\cdot6{,}0\times10^{-6}\cdot0{,}10}{(0{,}20)^3}=6{,}74\times10^{5}\ \mathrm{N/C}
dentro: la carica racchiusa cresce come r³
2
r=R:\quad E=\frac{kQ}{R^2}=1{,}35\times10^{6}\ \mathrm{N/C}
sulla superficie le due formule coincidono
3
r=0{,}40\ \mathrm{m}=2R:\quad E=\frac{kQ}{r^2}=3{,}37\times10^{5}\ \mathrm{N/C}=\frac{E(R)}{4}
fuori; controllo E(R/2) = E(R)/2
Errori tipici e controlli
  • Coulomb dentro: kQ/r² = 5,39×10⁶ N/C (4 volte E(R))
  • Un ottavo di E(R): 1,69×10⁵ N/C. Campo nullo dentro: 0