Il Teorema di Gauss

Cosa hanno in comune il buio della notte e una carica elettrica

Fisica · gamma (4A) · 28 settembre 2026 · Ora 2

Perché di notte il cielo è buio?

Una domanda che sembra ovvia — finché non si prova a rispondere sul serio.

Non è una domanda nuova

Heinrich Olbers se lo chiede nel 1823 — già intuito nel Settecento da Halley e Chéseaux.

Una risposta convincente arriva solo con la cosmologia del Big Bang — quasi un secolo dopo.

Oggi rifacciamo, in piccolo, il conto che li ha lasciati di stucco.

Prima del conto, i simboli

luminosità: la potenza totale che una stella emette in tutte le direzioni (in watt) — è una proprietà della stella, non dipende da chi guarda

b(r) = \dfrac{L}{4\pi r^2}

brillanza (flusso ricevuto) a distanza r: quanta potenza arriva per ogni m² a un osservatore — la stessa L si "spalma" su una sfera di superficie 4\pi r^2 sempre più grande, quindi la brillanza cala con il quadrato della distanza

densità di stelle sul guscio: quante stelle popolano, in media, l'unità di superficie di un guscio a distanza r (costante, per l'ipotesi di universo uniforme)

N(r) = D\cdot 4\pi r^2

numero di stelle sul guscio a distanza r: densità D per la superficie del guscio — è quante sorgenti contribuiscono, non quanta luce arriva da ciascuna

stessa luce, sfera più grande → b più piccola

Il conto che lo dimostra

Nell'ipotesi di universo infinito, statico, stelle distribuite uniformemente:

L, b(r), D: come nella slide precedente

A(r) = 4\pi r^2 \qquad N(r) = D\cdot A(r) = D\cdot 4\pi r^2

stessa formula dell'area della sfera vista per il campo elettrico: il numero di stelle sul guscio è proporzionale alla sua superficie

\Phi(r) = N(r)\,b(r) = D\cdot 4\pi r^2\cdot\dfrac{L}{4\pi r^2} = D\,L

l'r^2 si semplifica: il flusso di un guscio non dipende dal raggio, resta solo densità per luminosità

\Phi_{\text{tot}} = \sum_{\text{gusci}} D\,L \ \longrightarrow\ \infty

somma di infiniti gusci concentrici, termini tutti uguali e positivi: diverge

Lo stesso conto, letto al contrario

Finora: quanta luce arriva sulla Terra da tutte le stelle di un guscio
Ribaltiamo il problema: quanto flusso esce da una sola stella, attraverso una superficie che la racchiude?
Per lo stesso conto, quel flusso non dipende dal raggio della superficie scelta
Allora non dipende nemmeno dalla sua forma: dipende solo da quanta luce emette la stella

superficie sferica immaginaria attorno alla stella

Una carica elettrica si comporta alla stessa maniera?

Una previsione, prima di continuare

Una carica puntiforme sta al centro di una sfera immaginaria di raggio R. Se raddoppio R, il flusso (electric flux) attraverso quella superficie…

raddoppia
resta uguale
si dimezza

Lo avete già visto: cosa c'è dentro la scatola?

Un flusso netto di 1{,}0\times10^{4}\ \text{N·m}^2/\text{C} entra in una sfera di raggio 5,0 cm. Quanta carica c'è dentro? (la carica è tutta nel centro)

\Phi = -1{,}0\times10^{4}\ \text{N·m}^2/\text{C}

il flusso entra: per convenzione il flusso netto uscente è negativo

E(R) = \dfrac{kQ}{R^2},\quad A(R) = 4\pi R^2 \ \Rightarrow\ \Phi = E(R)\cdot A(R) = 4\pi k Q

l'R^2 si semplifica come nell'esercizio della sfera: il flusso non dipende dal raggio — e per lo stesso argomento non dipenderebbe nemmeno dalla forma della superficie

Q = \dfrac{\Phi}{4\pi k} \approx -8{,}9\times10^{-8}\ \text{C} \approx -89\ \text{nC}

dal flusso, senza conoscere né la posizione né il raggio, si risale alla carica: è un problema inverso

Due modi diversi di guardare le linee di campo

Densità delle linee in un punto → intensità del campo E lì: una proprietà locale
Numero di linee che attraversano un'intera superficie → flusso \Phi: una proprietà globale

Sono le stesse 8 linee in entrambi i disegni: cambia solo quanto sono dense, non quante sono.

Come la luce della stella di poco fa: vicino i raggi sono fitti, lontano sono radi — ma sono sempre gli stessi raggi.

Verificatelo voi

Fate variare il raggio R

Raggio R0,50 m

Carica Q=1{,}00 nC al centro. k=8{,}99\times10^{9} N·m²/C².

La risposta

Il flusso resta uguale.

E cala come 1/R^2, l'area cresce come R^2: il prodotto — cioè il numero di linee che attraversano la superficie — non cambia.

E se la carica non è al centro?

Finché la carica resta dentro la superficie, nasce sempre lo stesso numero di linee
Ogni linea deve comunque attraversare la superficie una volta, da qualche parte — non importa dove sta la carica all'interno
Il flusso non dipende dalla posizione della carica dentro la superficie

E se la superficie non è una sfera?

Lo avete già visto stamattina: Esercizio 2, la calotta semisferica
Il trucco: si chiude la calotta con il disco che ne è il bordo → superficie chiusa, senza carica dentro → flusso totale nullo
La forma della superficie non conta: conta solo quanta carica c'è dentro

E se la carica è fuori dalla superficie?

Lo avete già visto stamattina: Esercizio 4
Ogni linea di una carica esterna che entra nella superficie deve anche uscirne
Il contributo netto di una carica esterna è sempre zero

Il teorema di Gauss (Gauss's law)

Enunciato

Il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa dipende solo dalla carica netta racchiusa — non dalla forma della superficie, non da dove sta la carica all'interno.

\Phi = \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}

\Phiflusso attraverso la superficie chiusa (electric flux)

Q_{\text{int}}carica netta racchiusa dalla superficie

\varepsilon_0costante dielettrica del vuoto, legata a k da k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}

Torniamo al cielo notturno

Il paradosso presuppone un universo infinito, statico, popolato di stelle da sempre
L'universo reale ha un'età finita (~13,8 miliardi di anni): vediamo solo le stelle la cui luce ha fatto in tempo ad arrivare
Non è che la luce "si esaurisca": è la somma dei gusci che si ferma — un universo osservabile finito, non infinito

Ma "non infinito" non basta da solo: l'ipotesi di partenza era anche che l'universo fosse statico. E se non lo fosse?

Età dell'universo: ~13,8 miliardi di anni (modello ΛCDM, dati satellite Planck).

In sintesi

\Phi=Q_{\text{int}}/\varepsilon_0: il flusso dipende solo dalla carica racchiusa, non da forma né posizione
Il trucco è comparso tre volte: chiudere una superficie aperta (calotta), spostare la carica dentro, escludere una carica fuori
È la stessa cancellazione di r² vista nel paradosso di Olbers sul cielo notturno, applicata oggi a una carica elettrica
Prossima lezione (30/9): la dimostrazione liceale, senza integrali, ed esercizi standard su filo, piano, sfera