Linee di forza e flusso del campo elettrico
Dal disegno al numero: contare le linee
Fisica · 4A (gamma) · 21 settembre 2026
A gennaio fa freddo. E la Terra è più vicina al Sole.
3 gennaio 2026: 147,1 milioni di km dal Sole. 6 luglio 2026: 152,1 milioni di km.
A Bologna, a mezzogiorno, un metro quadro orizzontale riceve energia solare. Quante volte di più al solstizio d'estate che a quello d'inverno?
- ≈ 1,1 volte
- ≈ 1,5 volte
- ≈ 2,5 volte
- ≈ 10 volte
Distanze Terra–Sole: EarthSky e thesuntoday.org (2026). Energia al di fuori dell'atmosfera.
Richiamo
Il campo di una carica puntiforme
Il campo è la forza per unità di carica di prova (test charge); con Coulomb:
E=\dfrac{F}{q}=k\,\dfrac{Q}{r^{2}}
- modulo: kQ/r², unità N/C (non N)
- direzione: la retta che congiunge Q al punto
- verso: uscente se Q > 0, entrante se Q < 0
Il campo punto per punto
Una freccia in ogni punto
Come si leggono
Le linee di forza: definizione e regole
Linea di forza (field line): curva che in ogni punto è tangente a \vec{E}, nel verso di \vec{E}.
- Nascono sulle cariche positive e finiscono su quelle negative (o all'infinito)
- Non si incrociano: in ogni punto E ha una sola direzione
- Più fitte = campo più intenso
- Sono una rappresentazione, non oggetti fisici
Convenzione di disegno
Raddoppio la carica, raddoppio le linee
+Q · 8 linee
+2Q · 16 linee
Due cariche
Leggere le configurazioni
Il caso più semplice
Campo uniforme: linee parallele ed equispaziate
- Distanza fra le linee costante: E uguale in ogni punto
- Lo ritroveremo tra le armature di un condensatore piano (30/9)
Previsione
Una carica di prova positiva, lasciata ferma su una linea di forza, ne percorre la traiettoria?
- Sempre
- Solo se la linea è rettilinea
- Mai
La forza è sempre tangente alla linea, quindi non ha componente perpendicolare alla velocità: non può far curvare la carica quanto curva la linea. Parte lungo la linea, ma la velocità acquisita ricorda la direzione di un attimo prima e se ne stacca. Nel campo uniforme la linea è una retta e coincidono.
Errore tipico
La linea di forza non è una traiettoria
Configurazione
Partenza
clic sul disegno per cambiare punto
linea di forza
traiettoria
F è sempre tangente alla linea: nessuna spinta laterale per curvare.
Unità arbitrarie (k = 1, massa = 1, carica di prova = +1).
+
Contare le linee: il flusso
Quanta acqua passa per l'anello?
- quanto è veloce la corrente
- quanto è grande l'anello
- come è orientato rispetto alla corrente
È solo un'analogia sul conteggio: il campo non è un fluido, non scorre.
Il flusso, nel caso più semplice
Definizione
Il flusso (flux) di un campo uniforme attraverso una superficie piana perpendicolare alle linee è il prodotto dell'intensità del campo per l'area.
\htmlClass{c-Phi}{\Phi}\;=\;\htmlClass{c-E}{E}\cdot\htmlClass{c-A}{A}
\Phiflusso, in \mathrm{N\,m^{2}/C}
Eintensità del campo (N/C)
Aarea della superficie (m²)
La superficie inclinata
Definizione
Se la normale alla superficie forma un angolo θ con il campo, conta solo la parte perpendicolare alle linee.
\htmlClass{c-Phi}{\Phi}\;=\;\htmlClass{c-E}{E}\,\htmlClass{c-A}{A}\,\cos\htmlClass{c-th}{\theta}
Ecampo uniforme
Aarea della superficie
\thetaangolo fra la normale alla superficie e il campo
Attenzione: θ è l'angolo con la normale, non con la superficie.
Provalo
Inclina la superficie, conta le linee
Angolo θ0°
Le linee che attraversano sono in verde; la freccia n è la normale. Conteggio discreto: approssima cos θ.
Esempio svolto
Una lastra quadrata di lato 0,50 m è in un campo uniforme E = 4,0×10² N/C. La normale alla lastra forma 60° con il campo. Quanto vale il flusso?
1
A=(0{,}50)^{2}=0{,}25\ \mathrm{m^{2}}
prima l'area: il lato non è l'area
2
\Phi=E\,A\cos\theta=400\times0{,}25\times\cos 60^{\circ}
θ è già l'angolo con la normale
3
\Phi=50\ \mathrm{N\,m^{2}/C}
metà del massimo (E A = 100 N·m²/C)
Ritorno al gancio · 1 di 2
Il Sole a Bologna: l'inclinazione
Su un piano orizzontale la normale è la verticale: θ è l'angolo fra la verticale e i raggi del Sole a mezzogiorno.
1
\theta=\varphi-\delta
φ = latitudine (Bologna 44,5°) · δ = declinazione del Sole: +23,4° il 21 giu, −23,4° il 21 dic
2
\theta=21{,}1^{\circ}\ \text{(21 giu)},\ \ 67{,}9^{\circ}\ \text{(21 dic)}
la declinazione sposta il Sole verso lo zenit d'estate, verso l'orizzonte d'inverno
3
\dfrac{\Phi_{\mathrm{giu}}}{\Phi_{\mathrm{dic}}}=\dfrac{E\,A\cos 21{,}1^{\circ}}{E\,A\cos 67{,}9^{\circ}}=\dfrac{0{,}933}{0{,}376}\approx 2{,}5
E e A si semplificano: resta il rapporto dei coseni
Modello semplificato: energia al di fuori dell'atmosfera; latitudine 44,5° N; inclinazione dell'asse terrestre 23,4°.
Perché ci importa
Il flusso ritorna, dappertutto
- Pannelli solari: lo stesso cos θ decide come inclinarli. All'equinozio, a Bologna, uno orizzontale raccoglie circa il 71% di uno inclinato di 45° verso sud (cos 44,5° ≈ 0,71)
- Generatori, ricarica wireless: nel T2 vedremo che è la variazione del flusso di B a produrre corrente
- Teorema di Gauss (28/9): dal flusso di E su una superficie chiusa si legge la carica dentro, senza aprirla
Calcolo geometrico semplificato: Sole a mezzogiorno, latitudine 44,5° N, declinazione ≈ 0°; senza atmosfera né luce diffusa (flusso di irradianza, non di E).
Superficie chiusa (closed surface)
La normale punta sempre verso l'esterno
- Faccia sinistra: le linee entrano, Φ < 0
- Faccia destra: le linee escono, Φ > 0, stesso valore
- Sopra e sotto: normale ⟂ E, Φ = 0
- Totale: Φ = 0, senza cariche dentro
+
Da dove viene il 1/r²?
Il flusso attraverso una sfera
Carica Q al centro di una sfera di raggio r. Quanto vale Φ?
1
E=\dfrac{kQ}{r^{2}}\ \text{uguale in ogni punto, }\ \theta=0
il campo è perpendicolare alla sfera, con lo stesso modulo dappertutto
2
\Phi=E\cdot A=\dfrac{kQ}{r^{2}}\cdot 4\pi r^{2}
l'area della sfera cresce come r²
3
\Phi=4\pi k\,Q
r non c'è più: le linee si conservano
Ritorno al gancio · 2 di 2
Il Sole: la stessa mossa
La potenza P del Sole attraversa ogni sfera centrata sul Sole: nulla si perde per strada.
1
I\cdot 4\pi d^{2}=P
intensità (W/m²) per area della sfera: costante, per ogni d
2
I=\dfrac{P}{4\pi d^{2}}\ \propto\ \dfrac{1}{d^{2}}
come E = kQ/r²: stessa geometria, stesse linee
3
\dfrac{I_{\mathrm{gen}}}{I_{\mathrm{lug}}}=\left(\dfrac{d_{\mathrm{lug}}}{d_{\mathrm{gen}}}\right)^{2}=\left(\dfrac{152{,}1}{147{,}1}\right)^{2}\approx 1{,}07
a gennaio la Terra riceve il 7% di energia in più, per m², che a luglio
E se l'esponente non fosse 2?
Linee che attraversano la sfera di raggio r
Ritorno alla previsione
Cosa avevamo previsto
Inclinazione
+148%
l'estate riceve di più
cos 21,1° / cos 67,9° = 2,48
cos 21,1° / cos 67,9° = 2,48
Distanza
+7%
gennaio riceve di più, al più
(152,1 / 147,1)² = 1,07
(152,1 / 147,1)² = 1,07
Perché proprio 2
L'esponente viene dalla geometria dello spazio
- Le linee non nascono né finiscono nel vuoto: ne attraversano lo stesso numero a ogni raggio
- In 3 dimensioni la superficie di una sfera cresce come r²: per compensarla, E ∝ 1/r²
- In 2 dimensioni la «superficie» è una circonferenza (∝ r): sarebbe 1/r; in 4 dimensioni 1/r³
- Verificato in laboratorio: l'esponente è 2 con una deviazione inferiore a poche parti in 10¹⁶
Fonte per il limite sperimentale: E. R. Williams, J. E. Faller, H. A. Hill, Phys. Rev. Lett. 26, 721 (1971).
+
Esercizi
Esercizio 1 · applicativo
Una lastra in un campo uniforme
Una lastra quadrata di lato 2,0 m è in un campo uniforme E = 1,1×10⁴ N/C. Il piano della lastra forma 60° con le linee del campo.
- Calcola il flusso attraverso la lastra, per entrambi i versi della normale.
Adattato da OpenStax, University Physics vol. 2, cap. 6, problema 21 (CC BY 4.0), via Physics LibreTexts.
Esercizio 2 · concettuale
Flusso netto nullo su una superficie chiusa: che cosa ne segue?
- E = 0 in ogni punto della superficie
- La carica netta all'interno è nulla; E può essere non nullo sulla superficie
- Dentro non c'è alcuna carica
Un cubo in campo uniforme ha Φ netto = 0 ma E ≠ 0 su ogni faccia. Dentro possono esserci cariche di segno opposto: conta solo la somma (le linee che entrano sono tante quante quelle che escono).
Adattato da OpenStax, University Physics vol. 2, cap. 6, domanda concettuale 7 (CC BY 4.0), via Physics LibreTexts.
Esercizio 3 · e gancio del 28/9
Cosa c'è dentro la scatola?
Un flusso netto di 1,0×10⁴ N·m²/C entra in una sfera di raggio 5,0 cm.
a) Quanta carica c'è dentro?
b) In quale punto si trova?
Adattato da OpenStax, University Physics vol. 2, cap. 6, problema 34 (CC BY 4.0), via Physics LibreTexts.
Consegna
Per lunedì 28/9
- 1. Disegna le linee di +2Q e −Q (8 linee per Q). Quante partono da +2Q, quante arrivano su −Q, quante vanno all'infinito?
- 2. Una calotta semisferica di raggio 10 cm è in un campo uniforme di 2,0×10³ N/C parallelo al suo asse. Calcola il flusso attraverso la calotta (normale uscente). E se la ruoti di 90°?
- 3. Una carica q è al centro di un cubo di lato a; un'altra q al centro di una sfera di raggio a. Confronta i flussi e spiega con le linee.
Da OpenStax, University Physics vol. 2, cap. 6 (CC BY 4.0): esercizio 2 dal problema 75, esercizio 3 dalla domanda 6, via Physics LibreTexts.
In sintesi
- Linee di forza: tangenti a E; più fitte = campo più intenso; non sono traiettorie
- Flusso: \Phi=E\,A\cos\theta, con θ angolo con la normale
- Superficie chiusa: normale uscente; le linee che entrano si compensano con quelle che escono
- Sfera: \Phi=4\pi kQ non dipende da r, quindi E ∝ 1/r²
28/9: il teorema di Gauss, per qualunque superficie chiusa.