How big is it?
Volume and density

From a pebble to a cube: measuring what a ruler cannot measure

Physics · 1A · measure skills · 30/09/2026

A regular shape: how do we find its volume?

  • Cube: V=l^3
  • Box: V=l\times w\times h
  • Cylinder: V=\pi r^2 h

Geometry answers: measure the lengths, then calculate.

And a pebble?

No edges. No radius. No formula.

How can we measure the volume of an irregular object?

Idea: let the water tell us

  • Fill a glass to the brim
  • Lower the pebble into it: some water spills out
  • The water that spills has the same volume as the pebble

The pebble takes the place of some water.

More scientific: a graduated cylinder

  • Nothing spills: we read the level on a scale
  • Level before: V_1 · level after: V_2
V_\text{object}=V_2-V_1=\Delta V

\Delta (delta) simply means “a difference between two readings”.

Prediction: one pebble, two containers

Which level rises more: in a wide container or in a narrow one?

  • A · the wide one
  • B · the narrow one
  • C · the same

Same volume, smaller base → taller rise → easier to read.

Twelve cubes, unknown materials

  • Some are wood, some are different metal alloys
  • Will they sink or float in water?
  • What do we measure to find out?

Density

Definition
How much mass is packed into each unit of volume.
\rho=\frac{m}{V}
mmass (g)
Vvolume (cm³), 1 mL = 1 cm³
\rhodensity (g/cm³). Water: 1.00 g/cm³

Today’s question

Can you find the density of a cube and of a pebble, and say how sure you are of it?

  • Mass from a balance
  • Volume from a ruler or from water
  • Every measurement has an uncertainty
+

Laboratorio
Seguite i passi, uno alla volta

Organizzazione · 2 min

Come si lavora in gruppo

  • Chi maneggia: immerge, appoggia, pesa
  • Chi legge: legge lo strumento
  • Chi scrive: riporta i dati sul foglio
  • Chi controlla: menisco, parallasse, arrotondamenti

I ruoli ruotano a ogni misura. La vetreria resta sul banco, niente tuffi.

Passo 1 · 8 min · Sezione 1 del foglio

Gli strumenti

Compilate la tabella per righello, cilindro, becher, bilancia: analogico o digitale, portata, una divisione, incertezza.

  • Analogico (righello, cilindro, becher): incertezza = mezza divisione
  • Digitale (bilancia): incertezza = ultima cifra mostrata
  • Una divisione: contate le tacche fra due numeri scritti e dividete
Chiama il docente se

non riuscite a stabilire quanto vale una tacca.

Passo 2 · 3 min · Sezione 2 del foglio

La previsione

Prima di misurare: il vostro cubetto e il sassolino, in acqua, affondano o galleggiano?

  • Discutetene un minuto nel gruppo
  • Cerchiate la risposta sul foglio: affonda / galleggia
  • Scrivete il numero del cubetto e se è di legno o di metallo
Chiama il docente se

non sapete se il cubetto è di legno o di metallo.

Passo 3 · 8 min · Sezione 3 del foglio

Il cubetto: misurare i lati

  • Misurate tre spigoli diversi con il righello, in cm
  • Allineate lo zero della scala con lo spigolo
  • Occhio davanti alla tacca, non di lato (parallasse)
  • Calcolate la media: è l
Chiama il docente se

i tre spigoli differiscono di più di 2 mm.

Passo 3 · 10 min · Sezione 3 del foglio, righe a–e

Il volume del cubetto e la sua incertezza

Regola: in un prodotto le incertezze relative si sommano. Per l^3 si moltiplica per 3.

Esempio svolto (non sono i vostri dati): l=4{,}0\pm0{,}1\ \text{cm}

1
\frac{0{,}1}{4{,}0}\times100=2{,}5\%
incertezza relativa di l
2
V=4{,}0^3=64\ \text{cm}^3
volume
3
3\times2{,}5=7{,}5\%
incertezza relativa di V
4
0{,}075\times64=4{,}8\approx5\ \Rightarrow\ V=64\pm5\ \text{cm}^3
incertezza assoluta, arrotondata a una cifra
Passo 4 · 4 min · Sezione 3 del foglio, riga f

La massa del cubetto

  • Piatto vuoto: deve segnare 0,0 g (altrimenti premete “tara”)
  • Cubetto al centro del piatto
  • Leggete m e scrivete m\pm0{,}1\ \text{g}
Chiama il docente se

la bilancia non torna a 0,0 g con il piatto vuoto.

Passo 5 · 7 min · Sezione 3 del foglio, righe g–j

La densità del cubetto

\rho=\frac{m}{V}

Per un quoziente le incertezze relative si sommano, come nel prodotto.

Stesso esempio: m=172{,}8\pm0{,}1\ \text{g},\ V=64\pm5\ \text{cm}^3

1
\rho=\frac{172{,}8}{64}=2{,}7\ \text{g/cm}^3
2
\frac{0{,}1}{172{,}8}\times100\approx0{,}06\%
incertezza relativa di m
3
7{,}5\%+0{,}06\%\approx7{,}6\%
incertezza relativa di ρ
4
0{,}076\times2{,}7\approx0{,}2\ \Rightarrow\ \rho=2{,}7\pm0{,}2\ \text{g/cm}^3
Prima del sassolino · 3 min

Come si legge un livello d’acqua

  • Menisco: l’acqua sale un po’ lungo il vetro e la superficie è curva. Si legge il fondo della curva
  • Parallasse: le tacche sono sul vetro, l’acqua è dentro. Da sopra si legge troppo, da sotto troppo poco
  • Quindi: occhio all’altezza del livello, recipiente appoggiato sul banco
Chiama il docente se

due di voi leggono valori diversi e non riuscite a mettervi d'accordo.

Passo 6 · 10 min · Sezione 4 del foglio, riga cilindro

Il sassolino nel cilindro da 100 mL

  • Riempite il cilindro a circa metà e leggete V_1
  • Fate scivolare il sassolino piano, lungo la parete
  • Leggete V_2 e calcolate V_2-V_1
  • Incertezza di V: una divisione intera (due letture)
  • Incertezza relativa = incertezza ÷ V × 100
Chiama il docente se

il sassolino non entra o l'acqua schizza fuori.

Passo 6 · 6 min · Sezione 4 del foglio, riga becher

Lo stesso sassolino nel becher da 250 mL

  • Stessa procedura: leggete V_1, immergete piano, leggete V_2
  • Le tacche sono più distanti: stimate la mezza divisione
  • Il livello si è mosso? Di quanto?
  • Incertezza di V: una divisione intera del becher
Chiama il docente se

il livello non si muove di una tacca intera: è un dato, non un errore.

Passo 7 · 6 min · Sezione 4 del foglio, ultime due righe

Massa e densità del sassolino

  • Pesate il sassolino: m\pm0{,}1\ \text{g}
  • 1 mL = 1 cm³: il volume in mL vale già in cm³
  • Calcolate \rho=m/V usando il recipiente con l’incertezza relativa minore
  • Incertezza relativa di ρ = quella di m + quella di V
Chiama il docente se

il sassolino ha una massa sotto i 10 g.

Passo 8 · 8 min · Sezione 5 del foglio

Le domande finali

  • Quale recipiente dà l’incertezza relativa minore? Perché?
  • Perché per il cubetto conviene il righello e non l’acqua?
  • La densità del cubetto: affonda o galleggia? La previsione era giusta?
  • Che materiale potrebbe essere, secondo la tabella?
  • Un possibile errore: casuale o sistematico?
Chiama il docente se

non sapete distinguere un errore casuale da uno sistematico.

Consegna · 2 min

Prima di consegnare il foglio

  • Nome, cognome e data sul foglio
  • Tutte le celle compilate, con unità e incertezze
  • Un foglio per gruppo, con i nomi degli altri componenti
  • Banco in ordine: vetreria vuota e asciutta

Torniamo alla previsione

Il vostro cubetto affonda o galleggia?

  • Confrontate \rho con 1,00 g/cm³ (acqua)
  • \rho\gt1{,}00: affonda · \rho\lt1{,}00: galleggia
  • Ogni misura ha un’incertezza: per questo si scrive \rho\pm\Delta\rho